Question

设二次函数f(x)=-x²+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a的值

Answer 1

先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题．
解：对称轴x=a，
当a＜0时，[0，1]是f（x）的递减区间，f（x）max=f（0）=1-a=2
∴a=-1；
当a＞1时，，[0，1]是f（x）的递增区间，f（x）max=f（1）=a=2
∴a=2；
当0≤a≤1时，f（x）max=f（a）=）=a2-a+1=2，
解得a=（1±根号5）/2 ，与0≤a≤1矛盾；
所以a=-1或a=2．

Answer 2

f(x)=-x^2+2ax+1-a的对称轴为x=-2a/-2=a,当a<0时函数在[0，1]上为减函数所以最大值为f(0)=1-a=2,a=-1
当x=a∈[0，1]时，最大值为(4ac-b^2)/4a=2，a=（1±√5）/2,因为a∈[0，1]所以a=（1±√5）/2全部不符合条件舍去。
当x=a>1时函数在[0，1]上为增函数，所以最大值为f(1)=-1+2a+1-a=2，a=2
综上所述a=-1或a=2.