Question

已知Sn是首项为a的等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列

①求证：a2，a8，a5成等差数列；②若Tn=a1+2a4+3a7+……+na3n-2，求Tn

Answer 1

1）因为an=a*q；Sn=a*(1-q^n)/(1-q)；S3=a*(1-q^3)/(1-q)；S6=a*(1-q^6)/(1-q)；S9=a*(1-q^9)/(1-q)；
2*S9=S3+S6；约去公约数a/(1-q)得 2*（1-q^9）=(1-q^3)+(1-q^6)
2*(1-q^3)(1+q^3+q^6)=(1-q^3)+(1-q^3)(1+q^3) 所以 2*(1+q^3+q^6)=1+1+q^3
所以 q^3= -0.5 令其=t；
a8=a*q^7=a*(-0.5)^2*q=0.25a*q；a2=a*q；a5=a*q^4= -0.5a*q；
所以 2*a8=a2+a5，即证a2，a8，a5成等差数列。
2）Tn=a1+2a4+3a7+……+na3n-2=a+2a*t+3*a*t^2+.....+n*a*t^(n-1)
=[1+2t+3*t^2+.....+n*t^(n-1)]*a ①
t*Tn=[ t+ 2t^2 +......+(n-1)*t^(n-1)+n*t^n]*a ②
①-②得 （1-t）Tn=[1+t+t^2+....+t^(n-1)-n*t^n]*a
因为t=-0.5 所以 Tn=(2/3)a*[2/3-(2/3+n)(-0.5)^n]。