Question

若椭圆x^2/4+y^2=1 上存在关于直线 y=kx+2对称的两点,求实数k的取值范围

为什么 k>(3开根号)/2或者K<-(3开根号)/2 是错的， 因该怎么做，给出步骤

Answer 1

我来试试吧...希望LZ能够多给点分...谢谢

解：x^2/4+y^2=1 上存在关于直线 y=kx+2对称的两点
设为A(x1,y1)B(x2,y2)
点差法：x1^2/4+y1^2=1
x2^2/4+y2^2=1
相减，整理得 (y2-y1)/(x2-x1)*(y2+y1)/(x2+x1)=-1/4....①
设AB中点M(x0,y0),直线AB斜率=k1,直线OM斜率=K2
①式表示为 k1*k2=-1/4
由题，直线AB⊥直线y=kx+2
k*k1=-1 → k1=-1/k
代入①中得到 k2=k/4
M点在直线y=k/4*x上，也在直线y=kx+2上，联立得M点
x0=-8/3k,y0=-2/3k² M(-8/3k,-2/3k²)
显然,M点必须在椭圆内部...
x0^2/4+y0^2<1
代入得到16/9k^2+4/9k^4<1,整理得(k^2+2)²<25/4
解得 -1∕√2<k<1∕√2

Answer 2

两个对称点设为A(x1，y1) B(x2，y2) 中点M(x，y)
有2x=x1+y1 2y=y1+y2①
首先M在直线y=kx+2上，其次AB和直线垂直
x1²/4+y1²=1
x2²/4+y2²=1
两式相减并移项
(x1+x2)(x1-x2)/4=-(y1+y2)(y1-y2)
(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/4(y1+y2)
等式左边是AB的斜率为-1/k，右边用①式代换
于是-1/k=-x/4y
再加上y=kx+2
联立方程得到
x=-8/(3k)
y=-2/3
M点在椭圆内部，要求x²/4+y²<1
带入得到16/(9k²)+4/9<1
k²>16/5
k>4√5/5或者k<-4√5/5