Question

已知函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax,问当a<0时，求f(x)的单调区间

Answer 1

f＇﹙x﹚＝﹙2－a﹚／x－1／x²＋2a
＝﹙2x－1﹚﹙ax＋1﹚／x²
＝2a﹙x－1／2﹚﹙x＋1／a﹚／x²
①当－2＜a＜0时，－1／a＞1／2
函数在﹙0,1／2﹚上递减，在﹙1／2，－1／a﹚上递增，在﹙－1／a,＋∞﹚上递减
②当a＝－2时，导函数≤0
函数在﹙0，＋∞﹚上递减
③当a＜－2时，0＜－1／a＜1／2
函数在﹙0，－1／a﹚上递减，在﹙－1／a,1／2﹚ 上递增，在﹙1／2，＋∞﹚上递减

Answer 2

f'(x)=(2-a)/x-1/x^2 2a
=[2ax^2 (2-a)x-1]/x^2
=(2x-1)(ax 1)/x^2
=a(x-1/2)(x 1/a)/x^2
令f'(x)=0得x=1/2或x=-1/a
当0<-1/a<1/2即a<-2时，
f(x)递增区间为(-1/a,1/2)
递减区间为(0,-1/a),(1/2, ∞)
当-1/a=1/2即a=-2时，f'(x)=-2(x-1/2)^2/x^2≤0
∴f(x)递减区间为(0, ∞)
当-1/a>1/2即-2<a<0时，
f(x)递增区间为(1/2,-1/a)
递减区间为(0,1/2),(-1/a, ∞)