Question

过等腰三角形ABC底边BC中点D作AC得垂线DE交AC于E,设DE的中点为F，求证:AF⊥BE

希望有详细的解答过程

Answer 1

连接AD，取EC的中点G，连接DG，
∵△ABC中AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，
∵DE⊥AC，∴∠ADE=∠C，
rt△AED∽rt△DEC，DE和EC以及AE和DE分别是对应边，
∵F是DE的中点，G是EC的中点，∴AF与DG是对应边上的中线，
∠EAF与∠EDG是一组对应角：∠EAF=∠EDG。
设AF延长交DG于H，
易证∠AHD=∠AED=90°，即AF⊥DG；
∵在△BEC中，DG是中位线，BE∥DG，
∴AF⊥BE。