Question

若关于x的不等式ax^2-|x+1|+2a小于0为空集，则实数a的取值范围为什么

需要最简洁易懂的回答，要过程

Answer 1

原命题等价于ax²-|x+1|+2a≥0恒成立
即a(x²+2)≥|x+1|
因Ix+1I≥0 x²+2≥2
所以a>0
1. x<-1时，ax²+x+2a+1≥0
则判别式=1-4a(2a+1)<0
8a²+4a-1>0
解得a>2√3-2
2. x≥-1时，ax²-x+2a-1≥0
则判别式=1-4a(2a-1)<0
8a²-4a-1>0
解得a>2+2√3
综上：a>2+2√3
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

追问

对于ax²-x+2a-1≥0横成立，应该是在 x<-1时成立吧，这样就不能光讨论那个判别式，不应该看一下对称轴吗？

追答

ax²-x+2a+1=a[x-1/2a]²+1/(4a)+2a+1≥0
因a>0
只要1/(4a)+2a+1≥0
即8a²-4a-1≥0
就是判别式
我也错了点，应加等号
改为综上：a≥2+2√3

追问

既然讨论了1. x=恒成立的。你能再看一下吗？谢谢。

追答

ax²-x+2a+1=a[x-1/2a]²+1/(4a)+2a+1≥0
你看这个[x-1/2a]²在定义域内还需讨论嘛，肯定是大于等于0，这有需要吗？已经包括在里了。
你能举出反例吗？若能才需讨论。

Answer 2

原命题等价于ax²-|x+1|+2a≥0恒成立！（取的是逆否命题）
所以问题转化为恒成立型的问题
用数形结合的方法最快~~~
ax²-|x+1|+2a≥0等价于a(x²+2)≥|x+1|恒成立
令f(x)=a(x²+2),g(x)=|x+1|
在坐标轴上画出它们的图形，显然a＞0
且f(x)是顶点为（0,2），对称轴为x=0的抛物线
则只要x＞0时f(x)≥g(x)恒成立即可
那么当且仅当f(x)=g(x)时，在图形上表现为直线和抛物线相切，此时a取得最小值
可求的a=(√3+1)/4（此处有些麻烦，不过不是太难求出）
则所求a的取值范围为a≥(√3+1)/4