Question

g(x)=f(x)/x在区间(0,+∞)上是 减函数,求证,对于任意x1,x2∈(0,+∞)都有f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)

啊啊，我在这里谢过大家了啊……

Answer 1

由题知x1>0,x2>0，则x1+x2>x1,x1+x2>x2
由减函数特性，可知g(x1+x2)<g(x1),g(x1+x2)<g(x2)
即
f(x1+x2)/(x1+x2)<f(x1)/x1（1）
f(x1+x2)/(x1+x2)<f(x2)/x2（2）
由于x1,x2均大于0
则由1得，x1*f(x1+x2)<(x1+x2)*f(x1)
由2得，x2*f(x1+x2)<(x1+x2)*f(x2)
两式相加有(x1+x2)*f(x1+x2)<(x1+x2)*(f(x1)+f(x2))
x1+x2>0，则有
f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)
即f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)