Question

已知函数f（x）=x^2+2x+a，x∈[1，+∞﹚

（1）当a=1/2时求函数f(x)的最小值
（2）若对任意x∈[1,+∞），f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1） f（x）=x^2+2x+1/2
x∈[1，+∞﹚时 f(x)单调递增
∴当X=1时有最小值f(1)=7/2
2） ∵对任意x∈[1,+∞），f(x)>0恒成立
∴x^2+2x+a>0恒成立
a>-x^2-2x 恒成立
即 a>-（x^2+2x）最大值
∵x∈[1，+∞﹚
∴有-（x^2+2x）最大值-3
∴a>-3

Answer 2

(1)a=1/2的时候
f（x）=x^2+2x+1/2
根据抛物线的特点 最小值在对称轴x=-1处
带入f(-1)=1-2+1/2=-1/2
(2)对任意x∈[1,+∞），f(x)>0恒成立
分情况考虑
①Δ<0
即4-4a<0 得出a>1
②Δ≥0的时候也就是a≤1的时候
f(1)>0 得出3+a>0 a>-3 所以-3<a≤1
综合起来就是
a>-3的时候对任意x∈[1,+∞），f(x)>0恒成立

Answer 3

解：f（x）=x^2+2x+a=（x+1）^2+a-1,在x∈[1，+∞﹚，函数是增函数，所以
1.当a=1/2时，f（x）=（x+1）^2-1/2，当x=1时有最小值y=（1+1）^2-1/2=7/2;
2.因为函数是增函数，∴当f（1）＞0时，对任意x∈[1,+∞），f(x)>0恒成立，所以有
（1+1）^2+a-1＞0，解得a＞-3

Answer 4

解：
(1)a=1/2时：
f(x)=x^2+2x+1/2 = (x+1)^2 - 1/2
显然当x = 1时，有最小值7/2
(2)x^2+2x+a>0恒成立，而
(x+1)^2 + a-1>0
在x∈[1,+∞）时，(x+1)^2≥4
a>-3

Answer 5

（1）3.5
（2）a>-3