求大神指导，求手写！
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解：1题，∵1≤i≤n时，n^2+n+1≤n^2+n+i≤n^2+n+n，∴i/(n^2+n+n)≤i/(n^2+n+i)≤i/(n^2+n+1)。
∴∑i/(n^2+n+n)≤∑i/(n^2+n+i)≤∑i/(n^2+n+1)。
而∑i=n(n+1)/2，lim(n→∞)∑i/(n^2+n+n)=(1/2)lim(n→∞)(n+1)/(n+2)=1/2、lim(n→∞)∑i/(n^2+n+1)=(1/2)lim(n→∞)(1+1/n)/(1/n^2+1/n+1)=1/2，
∴lim(n→∞)∑i/(n^2+n+i)=1/2。
2题，∵x2=(1/2)(2+2/2)=3/2<2=x1，……，xn+1<xn，∴{xn}单调减、且为正项数列。又，xn+1=(1/2)(xn+2/xn)≥(xn*2/xn)^(1/2)=√2，∴{xn}有界。∴{xn}的极限存在。
设lim(n→∞)xn=A，则lim(n→∞)xn+1=lim(n→∞)(1/2)(xn+2/xn)，即A=(1/2)(A+2/A)，解得A=±√2(负值舍去)，∴lim(n→∞)xn=√2。
供参考。
∴∑i/(n^2+n+n)≤∑i/(n^2+n+i)≤∑i/(n^2+n+1)。
而∑i=n(n+1)/2，lim(n→∞)∑i/(n^2+n+n)=(1/2)lim(n→∞)(n+1)/(n+2)=1/2、lim(n→∞)∑i/(n^2+n+1)=(1/2)lim(n→∞)(1+1/n)/(1/n^2+1/n+1)=1/2，
∴lim(n→∞)∑i/(n^2+n+i)=1/2。
2题，∵x2=(1/2)(2+2/2)=3/2<2=x1，……，xn+1<xn，∴{xn}单调减、且为正项数列。又，xn+1=(1/2)(xn+2/xn)≥(xn*2/xn)^(1/2)=√2，∴{xn}有界。∴{xn}的极限存在。
设lim(n→∞)xn=A，则lim(n→∞)xn+1=lim(n→∞)(1/2)(xn+2/xn)，即A=(1/2)(A+2/A)，解得A=±√2(负值舍去)，∴lim(n→∞)xn=√2。
供参考。
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