Question

已知函数f﹙x﹚的定义域为﹙﹣2,2﹚，函数g﹙x﹚=f﹙x－1﹚＋f﹙3－2x﹚

已知函数f﹙x﹚的定义域为﹙﹣2,2﹚，函数g﹙x﹚=f﹙x－1﹚＋f﹙3－2x﹚
①求函数g﹙x﹚的定义域
②若f﹙x﹚是奇函数且在定义域上是单调递减，求不等式g﹙x﹚≤0的解集

Answer 1

解：（1）-2<x-1<2
-1<x<3
-2<3-2x<2
1/2<x<5/2
取交集：1/2<x<5/2
g(x)定义域为(1/2,5/2)
(2)f(x)是奇函数
所以f(-x)=-f(x)
g(x)≤0
f(x-1)+f(3x-2)≤0
f(x-1)≤-f(3x-2)
f(x-1)≤f(2-3x)
因为f(x)单调递减
所以有x-1≥2-3x
解得：x≥3/4
因此解集为[3/4,5/2)

Answer 2

1.解：因为f﹙x﹚的定义域为﹙﹣2,2﹚，函数g﹙x﹚=f﹙x－1﹚＋f﹙3－2x﹚所以
-2＜x-1＜2，-2＜3-2x＜2，得到1/2＜x＜5/2，所以函数g﹙x﹚的定义域的定义域为(1/2,5/2);
2.因为若f﹙x﹚是奇函数且在定义域上是单调递减
所以g（x)=f﹙x－1﹚＋f﹙3－2x）≤0，得到f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），所以x-1≥2x-3，解得x≤2，所以g（x）≤0的解集为（1/2，2]