Question

已知cos(α-β/2)=-1/9,sin(α/2-β)=2/3,且α∈(π/2,π),β∈(0,π/2),求cos(α+β)/2的值

我主要是问一下α-β/2和α/2-β的取值范围怎么算？

Answer 1

由于π/2<α<π①，0<β<π/2②，所以-π/4<-β/2<0③，π/4<α/2<π/2④，由①③相加可得π/4<α-β/2<π，由于cos (α-β/2)=-1/9，所以α-β/2的范围为（π/2，π)同理α/2-β的范围为（0.π/2)，cos (α+β)/2=cos (α-β/2-(α/2-β))=7√5/27（后面我直接写的答案，因为前面知道了，答案就好求了）

Answer 2

0 <β<π/2,
则-π/4<-β/2<0, 又π/2<α<π,
两个同向不等式相加得：π/4<α-β/2<π,
α-β/2∈(π/4，π)，cos(α-β/2)=-1/9,所以：sin(α-β/2)=4√5/9

π/2<α<π, 0 <β<π/2,
则π/4<α/2<π/2, -π/2<-β<0,
两个同向不等式相加得：-π/4<α/2-β<π/2
α/2-β∈(-π/4，π/2)，sin(α/2-β)=2/3,所以：cos(α/2-β)=√5/3

cos(α/2+β/2)=cos[(α-β/2)-(α/2-β)]
=cos(α-β/2)cos(α/2-β)+sin(α-β/2)sin(α/2-β)
=(-1/9)x√5/3+2/3x4√5/9
=7√5/27