Question

在△ABC中，角ABC=45°，H是高AD和BE的交点，求证：BH=AC

Answer 1

1：
因为 角ABC=45°
所以 BD=AD
2：
因为 角CBE=角DBH，角HDB=角BEC=90°
所以 三角形BDH∽三角形BEC
因为 角ACD=角BEC，角ADC=角BEC=90°
所以 三角形BEC∽三角形ADC
因此 三角形BDH∽三角形BEC∽三角形ADC
3：
由1、2的推论，得三角形BDH≌三角形ADC
因此 AC=BH

Answer 2

∵∠ABC=45°,∠ADB=90°
∴△ABD为等腰直角三角形
∴AD=AB(1)
∵∠BEC是三角形AEH的外角,∠ADC是△BDH的外角
∴∠EAH+∠AHE=∠BEC=90°
∠HBD+∠BHD=∠ADC=90°
又∵∠AHE=∠BHD(对顶角相等）
∴∠EAH=∠BHD(2)
∵∠HDB=∠ADC=90°(3)
∴△BHD≌△ADC(ASA)
∴BH=AC