Question

线性代数中基的问题

设α1=(2,2,-1)',α2=(2,-1,2)',α3=(-1,2,2)', β=(1,0,-4)'
证明: α1,α2,α3是R^3的一个基, 并求β在这组基下的坐标.

Answer 1

解: (α1,α2,α3, β) =
2 2 -1 1
2 -1 2 0
-1 2 2 -4

r1+2r3,r2+2r3
0 6 3 -7
0 3 6 -8
-1 2 2 -4

r1-2r2, r3*(1/3),r3-2r2
0 0 -9 9
0 1 2 -8/3
-1 0 -2 4/3

r1*(-1/9), r2-2r1, r3+2r1
0 0 1 -1
0 1 0 -2/3
-1 0 0 -2/3

r3*(-1), r1<->r3
1 0 0 2/3
0 1 0 -2/3
0 0 1 -1

所以 r(α1,α2,α3)=3, 且β= (2/3)α1-(2/3)α2-α3
所以 α1,α2,α3 是 R^3 的一个基,
且β在这组基下的坐标为 (2/3,-2/3,-1).

Answer 2

证a1,a2,a3是R^3的一组基只要证明他们线性无关即可，亦即证明A=(a1 a2 a3)构成的矩阵可逆或行列式不等于0或秩=3。
β = A b
则b = A^-1 β