Question

求星形线X^(2/3)+Y^(2/3)=a^(2/3) 绕y=x一周所形成的体积，谢谢大家

Answer 1

星形线X^(2/3)+Y^(2/3)=a^(2/3)
x=(acost)^3,y=(asint)^3,
V=2∫(π/2到0)y^2dx
=2*3*∫(0到π/2)a^6*(sint)^7*a^3*(cost)^2dt
=2*3*a^9∫(0到π/2)*(sint)^7*[1-(sint)^2]dt
=6a^9∫(0到π/2)*[(sint)^7-(sint)^9]dt
=6a^9*[6/7*4/5*2/3(1-8/9)]
=32/105*a^9.

追问

y^2dx不对，就算是旋转坐标系后的解法，参数方程应该有相应变化才能这么取微元，而且少乘了π

追答

太匆忙,少乘了π,

追问

你在用 原坐标系的参数方程 去计算一个坐标系旋转四十五度后积分

追答

体积元素dv=πy^2dx
相当于有一"片"圆柱体,厚度为dx,底面半径为高y=f(x),底面面积=πy^2=πf(x)^2!

追问

可是我是说的绕y=x..不是绕x轴或者y轴

追答

我看错题啦!
这太难了吧,考研也不考的,
那你要任取一点,求出点到y=x的距离作为底圆半径,但是厚度不是dx,好象旋转了45度,应该有个关系,然后再算,太繁了,放弃吧!
也可以把星形线先旋转45度,然后再做,还是比较繁!