Question

已知数列{an}中,a1=5 a2=2 an=2an-1+3an-2 (a≥3) 对于这个数列的通项公式作一研究 能否写出它的通项公式

不用太写出过程我已经知道 an+an-1=3(an-1+an-2）
设bn=an+an-1那么bn-1=an-1+an-2
得｛bn｝为首项为a2+a1,公比为3等比数列
后面要详细点

Answer 1

bn=7*3^(n-1)
设数列{an}的前n相和为sn,思路是：
求出sn的通项，再利用an=sn-sn-1求出an的通项。

追问

咋的出来的bn=7*3^(n-1)

追答

bn=7*3^(n-1),n>=2
bn=an+an-1
bn-1=an-1+an-2,
两式相减得
an-an-2=7*3^(n-1)-7*3^(n-3)=56*3^(n-1)
当n为奇数且n>2时，a3-a1=56*3^(3-1)
a5-a3=56*3^(5-1)
a7-a5=56*3^(7-1)
a9-a7=56*3^(9-1)
.........................
an-an-2=56*3^(n-1)
相加错位相消得
an-a1=56[3^2+3^4+3^6+3^8+.....+3^(n-1)]=56[9-9*9^(n-1)/2]=56[9-9^(n+1)/2]/(1-9)=7[3^(n+1)-9]
an=5+7[3^(n+1)-9]
将n=1代入上式得a1=5故n=1时满足上式
当n为偶数且n>3时，a4-a2=56*3^(4-1)
a6-a4=56*3^(6-1)
a8-a6=56*3^(8-1)
a10-a8=56*3^(10-1)
.........................
an-an-2=56*3^(n-1)
相加错位相消得
an-a2=56[3^3+3^5+3^7+3^9+.....+3^(n-1)]=56[27-27*9^(n-2)/2]/(1-9)=7[3^(n+1)-27]
an=2+7[3^(n+1)-27]
将n=2代入上式得a2=2故n=2时满足上式.
综上所述数列{an}的通项为 当n为奇数时,an=5+7[3^(n+1)-9]
当n为偶数时,an=2+7[3^(n+1)-27]

Answer 2

不知道