Question

若不等式mx²-2x+1-m＜0对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围

27 例一

Answer 1

将mx²-2x-m+1<0 转化为m(x²-1)<2x-1
1.当x²-1>0，x<-1或x>1时
m<(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
只需要让(2x-1)/(x²-1)>2即可
2x-1>2(x²-1)
2x²-2x-1<0
解不等式得(1-√3)/2<x<(1+√3)/2 ，又因为是在x>1时进行讨论的
所以1<x<(1+√3)/2

2.当x²-1<0，-1<x<1时
m>(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
即(2x-1)/(x²-1)<-2恒成立
2x-1>-2(x²-1)
2x²+2x-3>0
解不等式得x<(-1-√7)/2或x>(-1+√7)/2 ，又因为-1<x<1
所以(-1+√7)/2<x<1

3.当x²-1=0，即x=1或x=-1时
若x=1，m-2-m+1=-1<0，恒成立；
若x=-1，m+2-m+1=3＜0，不成立

综合三种情况得，(-1+√7)/2<x<(1+√3)/2

Answer 2

变换角度来考虑。把m当成主元，
设f(m)=mx²-2x+1-m，即f(m)=(x²-1)m-2x+1，这是一个以m为自变量函数。
当x²-1=0时，x=±1，
若x=1则常数函数f(m)=-1<0成立，满足题意，所以x的取值中有x=1；
若x=-1,则常数函数f(m)=3<0不成立，所以x的取值中没有-1，即x≠-1。
当x²-1≠0，即x≠±1时，f(m)是一次函数，其图象在-2≤m≤2上是一条线段，
只要这条线段整个都在x轴下方，则其函数值就恒小于0，为此，
只需线段的两个端点都在x轴下方即可，即只需函数在m=-2和m=2时
的函数值小于0即可，
于是有f(-2)<0且f(2)<0,即-2x²-2x+3<0且2x²-2x-1<0
解得(-1+√7)/2<x<(2+√3)/2.
综上所述，(-1+√7)/2<x<(2+√3)/2或x=1.