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将mx²-2x-m+1<0 转化为m(x²-1)<2x-1
1.当x²-1>0,x<-1或x>1时
m<(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
只需要让(2x-1)/(x²-1)>2即可
2x-1>2(x²-1)
2x²-2x-1<0
解不等式得(1-√3)/2<x<(1+√3)/2 ,又因为是在x>1时进行讨论的
所以1<x<(1+√3)/2
2.当x²-1<0,-1<x<1时
m>(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
即(2x-1)/(x²-1)<-2恒成立
2x-1>-2(x²-1)
2x²+2x-3>0
解不等式得x<(-1-√7)/2或x>(-1+√7)/2 ,又因为-1<x<1
所以(-1+√7)/2<x<1
3.当x²-1=0,即x=1或x=-1时
若x=1,m-2-m+1=-1<0,恒成立;
若x=-1,m+2-m+1=3<0,不成立
综合三种情况得,(-1+√7)/2<x<(1+√3)/2
1.当x²-1>0,x<-1或x>1时
m<(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
只需要让(2x-1)/(x²-1)>2即可
2x-1>2(x²-1)
2x²-2x-1<0
解不等式得(1-√3)/2<x<(1+√3)/2 ,又因为是在x>1时进行讨论的
所以1<x<(1+√3)/2
2.当x²-1<0,-1<x<1时
m>(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
即(2x-1)/(x²-1)<-2恒成立
2x-1>-2(x²-1)
2x²+2x-3>0
解不等式得x<(-1-√7)/2或x>(-1+√7)/2 ,又因为-1<x<1
所以(-1+√7)/2<x<1
3.当x²-1=0,即x=1或x=-1时
若x=1,m-2-m+1=-1<0,恒成立;
若x=-1,m+2-m+1=3<0,不成立
综合三种情况得,(-1+√7)/2<x<(1+√3)/2
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变换角度来考虑。把m当成主元,
设f(m)=mx²-2x+1-m,即f(m)=(x²-1)m-2x+1,这是一个以m为自变量函数。
当x²-1=0时,x=±1,
若x=1则常数函数f(m)=-1<0成立,满足题意,所以x的取值中有x=1;
若x=-1,则常数函数f(m)=3<0不成立,所以x的取值中没有-1,即x≠-1。
当x²-1≠0,即x≠±1时,f(m)是一次函数,其图象在-2≤m≤2上是一条线段,
只要这条线段整个都在x轴下方,则其函数值就恒小于0,为此,
只需线段的两个端点都在x轴下方即可,即只需函数在m=-2和m=2时
的函数值小于0即可,
于是有f(-2)<0且f(2)<0,即-2x²-2x+3<0且2x²-2x-1<0
解得(-1+√7)/2<x<(2+√3)/2.
综上所述,(-1+√7)/2<x<(2+√3)/2或x=1.
设f(m)=mx²-2x+1-m,即f(m)=(x²-1)m-2x+1,这是一个以m为自变量函数。
当x²-1=0时,x=±1,
若x=1则常数函数f(m)=-1<0成立,满足题意,所以x的取值中有x=1;
若x=-1,则常数函数f(m)=3<0不成立,所以x的取值中没有-1,即x≠-1。
当x²-1≠0,即x≠±1时,f(m)是一次函数,其图象在-2≤m≤2上是一条线段,
只要这条线段整个都在x轴下方,则其函数值就恒小于0,为此,
只需线段的两个端点都在x轴下方即可,即只需函数在m=-2和m=2时
的函数值小于0即可,
于是有f(-2)<0且f(2)<0,即-2x²-2x+3<0且2x²-2x-1<0
解得(-1+√7)/2<x<(2+√3)/2.
综上所述,(-1+√7)/2<x<(2+√3)/2或x=1.
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