Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，P为双曲线右支上的任意一点，若|PF1|^2/|PF2|的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是？

Answer 1

P为双曲线右支上的任意一点，
则|PF1|-|PF2|=2a
|PF1|=2a+|PF2|
|PF1|^2=(2a+|PF2|)^2
=4a^2+4a|PF2|+|PF2|^2
所以|PF1|^2/|PF2|
=4a^2/|PF2|+4a+|PF2|
=(4a^2/|PF2|+|PF2|)+4a
>=2√(4a^2/|PF2|*|PF2|)+4a =8a

这个等号当4a^2/|PF2|=|PF2|时成立
即|PF2|^2=4a^2
|PF2|=2a
显然当P在(-a,0)点时|PF2|有最小值， |PF2|的最小值为c-a,
即|PF2|≥c-a, 2a≥c-a,
所以c≤3a ，c/a≤3.
又因双曲线离心率e>1,
所以e的取值范围是(1,3].