请教一道数学题,如下

如图,在三角形ABC中,H为垂心,G为重心,O为外心。求证:H,G,O三点共线,且HG=2GO... 如图,在三角形ABC中,H为垂心,G为重心,O为外心。求证:H,G,O三点共线,且HG=2GO 展开
film21
2011-08-17 · TA获得超过5210个赞
知道小有建树答主
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三心共线,又称欧拉线

证明如下

设O,H分别为外心和垂心

取BC中点M,连接AM交OH于G,下面只要证明G是重心就行了

OM⊥BC  AH⊥BC

ΔAHG∽ΔMOG⇒AG/GM=AH/OM

作ME∥BH交CH于E,取AC中点F,连接OF

有ME∥BH⊥AC,OF⊥AC  所以ME∥OF

另外M是中点,ME∥BH得到E是CH中点,又F是AC中点

那么EF∥AH∥OM

所以OMEF是平行四边形  得到EF=OM

根据中位线定理EF=1/2AH所以OM=1/2AH

上面根据相似三角形论证了AG/GM=AH/OM

所以AG/GM=2  

所以G是重心

证毕

津吧不唯
2011-08-17
知道答主
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