为什么二重积分的被积函数为常数时，代表的是积分区域的面积
二重积分的被积函数为常数时，代表的是积分区域的面积，这句话是不对的。
1、因为是常数，既然是常数，就可以提取到积分符号外面；
2、一旦提取到积分符号外，那积分符号下的dxdy就是一个微元面积，整个区域的积分就是总面积。
3、由于积分符号外有一个常数，当初积分符号下的常数，可能是没有单位的 单纯的数学常数，这个常数乘以dxdy，其意义就是面积的倍数。
4、假如x、y不是真正的坐标，而是抽象的变量，那 z = Constant 可能是：等温过程、等压过程、等容过程。
5、假如x、y是真正的坐标，也容易理解，这个 z = Constant。 在数学上，这就是一个identity，就是一个恒等式。 例如 sin²x + cos²x = 1，这个恒等式跟x的取值无关； 又如 arcsin(x+y) + arccos(x+y) = ½π，
这个恒等式跟x、y的取值无关可能是指：在物理上，这就是一个conservation，是一个守恒定律。
例如：不考虑势能时，有动能定理。同样不考虑动能时，也可以全用势能表示，当然是在保守系中才行。
扩展资料：
几何意义：在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分
其中
表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积
数值意义：二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。如函数：
其积分区域D是由
所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。
参考资料：百度百科-二重积分
图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
你要从二重积分积分的意义和本质上理解较为简单。
给你个对二重积分本质的比较形象的理解，就是要充分理解这张图。
z=f(x,y)就是积分函数，他是个由x,y共同决定的算式。
积分的过程就是：
把xoy这个平面，无限的分成一堆小区域（你可以理解为一堆小圆圈或者小方格），把每个小区域的面积，乘以这个小区域对应的f(x,y)。最后把这些值都加起来。
如果f(x,y)是个常数k呢，那么结果就是：每个小区域的面积都乘以这个不变的常数，然后把他们加起来。这样我们就可以把这个常数k提出来。
积分结果为：常数k*所有小面积的加和。
因为所有小面积的加和就是整个积分区域的面积，所以，积分结果就为：
整个积分区域面积的k倍。（你之前的描述是不准确的）
其实就是一个以整个积分区域为横截面，高度为K的一个柱体的体积。（注意，从意义上说，二重积分积出来的都是体积，不是面积，只不过柱体的体积就等于面积的k倍）
这样应该可以让你从本质上，直观的理解二重积分，也就知道了你问的那个问题了。
还有什么想问的都可以追问，如果帮到您，敬请采纳，谢谢~
给你个对二重积分本质的比较形象的理解，就是要充分理解这张图。
z=f(x,y)就是积分函数，他是个由x,y共同决定的算式。
积分的过程就是：
把xoy这个平面，无限的分成一堆小区域（你可以理解为一堆小圆圈或者小方格），把每个小区域的面积，乘以这个小区域对应的f(x,y)。最后把这些值都加起来。
如果f(x,y)是个常数k呢，那么结果就是：每个小区域的面积都乘以这个不变的常数，然后把他们加起来。这样我们就可以把这个常数k提出来。
积分结果为：常数k*所有小面积的加和。
因为所有小面积的加和就是整个积分区域的面积，所以，积分结果就为：
整个积分区域面积的k倍。（你之前的描述是不准确的）
其实就是一个以整个积分区域为横截面，高度为K的一个柱体的体积。（注意，从意义上说，二重积分积出来的都是体积，不是面积，只不过柱体的体积就等于面积的k倍）
这样应该可以让你从本质上，直观的理解二重积分，也就知道了你问的那个问题了。
