设A,B为同级正交矩阵,且丨A丨=-丨B丨,证明:丨A+B丨=0
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A，B都是正交矩阵，
∴|A|=±1，|B|=±1
∵|A|=-|B|
不妨设|A|=1，|B|=-1
|A+B|=|A+A·A^T·B|
=|A(E+A^T·B)|
=|A|·|E+A^T·B|
=|E+A^T·B|
=|(E+B^T·A)^T|
=|E+B^T·A|
|A+B|=|B·B^T·A+B|
=|B(B^T·A+E)|
=|B|·|B^T·A+E|
=-|B^T·A+E|
∴|B^T·A+E|=-|B^T·A+E|
∴|B^T·A+E|=0
∴|A+B|=0
∴|A|=±1，|B|=±1
∵|A|=-|B|
不妨设|A|=1，|B|=-1
|A+B|=|A+A·A^T·B|
=|A(E+A^T·B)|
=|A|·|E+A^T·B|
=|E+A^T·B|
=|(E+B^T·A)^T|
=|E+B^T·A|
|A+B|=|B·B^T·A+B|
=|B(B^T·A+E)|
=|B|·|B^T·A+E|
=-|B^T·A+E|
∴|B^T·A+E|=-|B^T·A+E|
∴|B^T·A+E|=0
∴|A+B|=0
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