Question

已知数列an满足：a1=m，a（n+1）=2an+3^（n-1），(1)设bn=a（n+1）/3^n,求数列bn（2）若对任意正整数n，都

已知数列an满足：a1=m，a（n+1）=2an+3^（n-1），(1)设bn=a（n+1）/3^n,求数列bn（2）若对任意正整数n，都有a（n+1）≥an，求m的最小值

Answer 1

(1)a（n+1）=2an+3^（n-1）=2an+[3^n-2*3^(n-1)]
则a(n+1)-3^n=2[an-3^(n-1)]
{a(n+1)-3^n}是公比q=2的等比数列
a2=2a1+1=2m+1
a(n+1)-3^n=（a2-3）*q^(n-1)=(m-1)*2^n
a(n+1)=(m-1)*2^n+3^n
bn=a（n+1）/3^n=(m-1)*(2/3)^n+1
(2)a（n+1）≥an
则(m-1)*2^n+3^n≥(m-1)*2^(n-1)+3^(n-1)
整理有：(m-1)*2^(n-2)+3^(n-1)≥0
m≥1-2*(3/2)^(n-1)
n=1时，1-2*(3/2)^(n-1)有最大值-1
于是m的最小值为m=-1

Answer 2

(1)a（n+1）=2an+3^（n-1）=2an+[3^n-2*3^(n-1)]
则a(n+1)-3^n=2[an-3^(n-1)]
{a(n+1)-3^n}是公比q=2的等比数列
a2=2a1+1=2m+1
a(n+1)-3^n=（a2-3）*q^(n-1)=(m-1)*2^n
a(n+1)=(m-1)*2^n+3^n
bn=a（n+1）/3^n=(m-1)*(2/3)^n+1
(2)a（n+1）≥an
则(m-1)*2^n+3^n≥(m-1)*2^(n-1)+3^(n-1)
整理有：(m-1)*2^(n-2)+3^(n-1)≥0
m≥1-2*(3/2)^(n-1)
n=1时，1-2*(3/2)^(n-1)有最大值-1
于是m的最小值为m=-1

Answer 3

a1=m，a(n+1)=2an+3^(n-1) a(n+1)-1/3*3^(n+1)=2(an-1/3*3^n) cn=an-1/3^n为等比数列
c1=m-1/3 cn=(m-1/3)*2^(n-1) an=an-1/3^n=(m-1/3)*2^(n-1)-1/3*3^n
bn=(m-1/3)*(2/3)^n-1

(m-1/3)*2^n-3^n>=(m-1/3)*2^(n-1)-1/3*3^n (m-1/3)*2^(n-1)>=2/3*3^n
m-1/3>=4*(3/2)^n m>=1/3+4*(3/2)^n