Question

已知正项数列{an},{bn}满足：对任何正整数n，都有an,bn,a(n+1）成等差数列，bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列，

且a1=10，a2=15
求证：数列(根号Bn)是等差数列
求数列{an},{bn}通用公式
设Sn=1/(a1)+1/(a2)+1/(a3)+....1/(an)如果对任何正整数n,不等式2aSn<2-(bn/an)横成立。 求实数a的范围。

Answer 1

1。令Cn=根号Bn 则由bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列知，AN+1=CN乘以CN+1
由an,bn,a(n+1）成等差数列，2CN平方=AN + AN+1 = CN-1乘以CN + CN乘以CN+1
即2CN=CN-1 + CN+1
亦即 2根号BN=根号BN-1 + 根号BN+1
证毕
2。根据第一问知，数列CN 为等差数列
易求 C1=5除以根号2 C2=3乘以根号2 所以公差为 根号2除以2（即根号2分之一）
所以数列CN通项公式为 CN=5除以根号2 + (N-1)乘以根号2分之一
由bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列，AN=根号BN 乘以 根号bn+1 = cn 乘以 cn+1 = （N+4)(N+5)除以2
由an,bn,a(n+1）成等差数列，又已求出AN，易得BN=(N+5)平方除以2

3。
AN=(N+4)(N+5)除以2
所以1除以AN = 2（ 1/（n+4)-1/（N+5) )
所以SN = 2 ( 1/5 - 1/ (n+5) ）
最后一问化简为
A < (N+3)(N+5) / 4N(N+4) 恒成立
即求 (N+3)(N+5) / 4N(N+4） 最小值
以下略。。（相当于求函数 F(N)=(N+3)(N+5) / 4N(N+4）的最值 ）

追问

AN=根号BN 乘以 根号bn+1 = cn 乘以 cn+1 = （N+4)(N+5)除以2那么当N=1的时候，A1=15但题目说A1=10与事实不符。

追答

不小心弄错了~
An=(n+3)(n+4)\2 Bn=(n+4)的平方/2

Answer 2

a(n+1)=√bnb(n+1) an,bn,a(n+1） 即√bnb(n+1) +√b(n+2)b(n+1) =2b(n+1) 同时除以√b(n+1)
得到√bn+√b(n+2)=2√b(n+1) √bn