Question

高中数列问题2道，详细过程！！

1,已知各项均为正数的数列{An}满足:A1=1,
且A(n+1)^2 *An+A(n+1) *An^2+A(n+1)^2-An^2=0 (n属于N*)，求
（1）数列{An)的通项公式；
（2）若Bn=((n(n+1))/((n+3)^2))*An,求数列{Bn}的最大项

2，某企业今年初贷款a万元，年利率为r，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5年内还请，则每年应偿还的金额数为多少
第二题是选择题
A. (a(1+r)^5)/((1+r)^5-1)万元
B. (ar(1+r)^5)/((1+r)^5-1)万元
C (ar(1+r)^5)/((1+r)^4-1)万元
D (ar)/((1+r)^5)万元

Answer 1

1)A(n+1)^2 *An+A(n+1) *An^2+A(n+1)^2-An^2=0
则A(n+1)*An[A(n+1)+An]+[A(n+1)-An][A(n+1)+An]=0
[A(n+1)*An+A(n+1)-An][A(n+1)+An]=0
因为[A(n+1)+An]>0
所以A(n+1)*An+A(n+1)-An=0
1+1/An-1/A(n+1)=0
1/A(n+1)-1/An=1
说明{1/An)}是一个等差数列
A1=1
1/An=1/1+(n-1)*1=n
An=1/n
2)Bn=((n(n+1))/((n+3)^2))*An=(n+1)/(n+3)^2
分母是高阶,所以n越小,分母越小,分数越大
当n=1时,Bn最大,B1=2/16=1/8

2, 如果是选择题你可以这样假设，假设一年还清，那么年底就交的钱为a（1+r）。可以设具体的数，例如设贷款10万元，年利率为10%，则年底你应该还11万
则A答案为10*（1+10%）/10%=110万，错误
B答案为10*10%*（1+10%）/10%=11万正确
C答案分母为-1错误
D答案10*10%*/（1+10%）=0。09万，错误
如果是计算题；设每年应还的钱为X，则
五年应还总钱数为a(1+r)^5=x[(1+r)^5－1]／r
x=ar(1+r)^5/[(1+r)^5－1]
答案是B

Answer 2

1. A(n+1)^2 *An+A(n+1) *An^2+A(n+1)^2-An^2=0
两边同除以A(n+1)²An²
1/An+1/A(n+1)+1/An²-1/A(n+1)²=0
[1/An+1/A(n+1)]{1+1/An-1/A(n+1)]=0
因各项均为正数，所以1/An+1/A(n+1)>0
于是1/A(n+1)-1/An=1
所以{1/An}是公差为1的等差数列
首项1/A1=1
(1) 1/An=1+n-1=n
An=1/n
(2) Bn=((n(n+1))/((n+3)^2))*An=(n+1)/(n+3)²
=(n+1)/(n²+6n+9)
=(n+1)/[(n+1)²+4(n+1)+4]
=1/[(n+1)+4/(n+1)+4]
≤1/{2√[(n+1)*4/(n+1)]+4}
=1/8
当n+1=4/(n+1)时等号成立，解得n=1
故最大项为B1=1/8
2. 设每年偿还n万元
第1年末：a*(1+r)-n
第2年末：[a*(1+r)-n]*(1+r)-n=a(1+r)²-n(1+r)-n
第3年末：[a(1+r)²-n(1+r)-n](1+r)-n=a(1+r)^3-n(1+r)²-n(1+r)-n
第4年末：[a(1+r)^3-n(1+r)²-n(1+r)-n]*(1+r)-n=a(1+r)^4-n(1+r)^3-n(1+r)²-n(1+r)-n
第5年末：[a(1+r)^4-n(1+r)^3-n(1+r)²-n(1+r)-n]*(1+r)-n=0
即a(1+r)^5=n*[1+(1+r)+(1+r)²+(1+r)^3+(1+r)^4]
=n*[(1+r)^5-1]/(1+r-1)
所以n=ar(1+r)^5/[(1+r)^5-1](万元)
即为所求
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 3

1﹙1﹚A(n+1)^2 *An+A(n+1) *An^2+A(n+1)^2-An^2=0化为
A(n+1) ×An×[A(n+1) +An]+[A(n+1)-An][A(n+1)＋An]=0，∵数列{An}的各项均为正数，
∴A(n+1)＋An≠0，∴A(n+1) ×An+[A(n+1)-An]=0，移项，用A(n+1) ×An去除等式的两边得到
1／A(n+1) －1／An＝1，数列{1／An﹜是首项为1，公差也是1 等差数列，
∴1／An＝n,∴An＝1／n.﹙2﹚Bn=((n(n+1))/((n+3)^2))*An＝﹙n+1)/((n+3)^2)为减函数，数列{Bn}的最大项是B1=1/8.
2.a(1+r)^5=x[(1+r)^5－1]／r, x＝ar(1+r)^5／[(1+r)^5－1].