Question

急急急！一道初中问题！很简单！想了半天就是不会！

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，斜边上的高CE交AD于F，交AB于E，过F作FG//AB，交BC于G，求证：BG=CD

要过程详解，好的加高分！

Answer 1

在RT三角形adc中，∠dac+∠adc=90°，因为ad平分∠bac，所以∠bad=∠cad，因为ab//fg，所以∠hbg=fgd，∠gfc=∠bec=90°，∠bad=∠ged，所以∠gfd+∠cfd=∠gfc=90°，又因为∠gfd=∠bad=∠cad，所以∠dfc=∠fdc，所以cf=cd。过d做ab的垂线dh，所以dh=dc，所以dh=fc，在三角形bhd和三角形gfc中：∠hbd=fgc，∠bhd=∠gfc，hd=fc，所以三角形全等，所以bd=gc，所以bd-gd=gc-gd，所以bg=cd

Answer 2

解：过点D做DH⊥AB，∵AD是∠A的平分线，∴CD=DH,AH=AC,∠HAF=∠CAF,易证△HAF≌△CAF﹙SAS),HF=CF,∠AHF=∠ACF.∵CE⊥AB,∠C=90°∴∠AEF=90°,∠EAF+∠AFE=∠CAD+∠ADC=90°,又∵,∠HAF=∠CAF，∴∠AFE=∠ADC，∴∠CFD=∠CDF,∴CD=CF=HF..∵CE⊥AB,∠C=90°∴∠ACF=∠B=∠AHF,∴HF∥BG,又FG∥AB,∴四边形BHFD是平行四边形，HF=BG,∴BG=CD

Answer 3

过点F做FH垂直于AC，延长HF交AB于点M
因为AD平分∠CAB且FE垂直于AB，FH垂直于AC
所以FE=FH.由此可推出△AFE全等于△AFH
所以∠AFE=∠AFH,FH平行于BC
所以∠AFH=∠ADC
又因为∠AFE=∠CFD
所以∠CDF=∠CFD
所以CD=CF
因为EF=FH，∠EFM=∠HFC,∠MEF=∠CHF
所以△MFE全等于△CFH
所以MF=CF=CD
因为MF平行于CB,FG平行于AB
所以四边形BGFM为平行四边形
所以MF=BG
所以BG=CD