Question

设函数f(x)=|x－a|－ax,其中a＞0为常数

⑴解不等式f(x)＜0
⑵试探求函数f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值

Answer 1

1）.
当x>=a, f(x)=x-a-ax<0--> x(1-a)<a
当0<a<1, x<a/(1-a)--> a=<x<a/(1-a)
当a=1, 0*x<a--> x>=a
当a>1, x>-a/(a-1) --> x>=a
当x<a, f(x)=a-x-ax<0---> x>a/(1+a)---> a/(1+a)<x<a
因此综合得解：
当 a>=1, x>a/(1+a)
当 0<a<1, a/(1+a)<x<a/(1-a)

2）当x>=a, f(x)=x-a-ax=(1-a)x-a
当0<a<1时为增函数，有最小值为f(a)=-a^2
当a=1时为常数函数, f(x)=-a
当a>1时为减函数，最小值为负无穷大。
当x<a, f(x)=a-x-ax=a-(1+a)x为减函数，最小值为负无穷大。
因此综合得：仅当0<a<1时存在最小值,为-a^2。
由上，此是充要条件。