Question

高一数学 数列题 要过程

已知方程（X的平方—2x+m)(x的平方—2x+n)=0的四个根组成一个由4分之1 的等差数列，则m+n和的绝对值是多少？

Answer 1

分成两个方程组解x²-2x+m=0，x²-2x+n=0
解：设x1，x4是x²-2x+m=0两根，x2、x3是x²-2x+n=0两根
韦达定理:x1+x2=2，x1*x2=m；x3+x4=2，x3*x4=n
x1+x4=2，x1x4=m
x2+x3=2，x2x3=n
依题意有四个根为x1、x2、x3、x4，
等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，公差为d
x2=x1+d，x3=x1+2d，x4=x1+3d，x1+x2+x3+x4=4，d=1/4
x1+x2+x3+x4=x1+(x1+d)+(x1+2d)+(x1+3d)=4，d=1/4
解得四个根分别为5/8，7/8，9/8，11/8
5/8+11/8=2， 7/8+9/8=2；
m=x1x4=（5/8）*（11/8）=55/64，n=x2x3=（7/8）*（9/8）=63/64
|m+n|=118/64=59/32
或者设x2、x3是x²-2x+m=0两根，x1，x4是x²-2x+n=0两根
同理得m=x2x3=（7/8）*（9/8）=63/64，n=x1x4=（5/8）*（11/8）=55/64
同理得|m+n|=118/64=59/32
综上所得：|m+n|=59/32

Answer 2

(x²-2x+m)(x²-2x+n)=0
x1=1/4
x1+x2=2
x2=7/4
x3+x4=2

(注：这里x2是末项，∵x1+x2=x3+x4=2，在等差数列中有a1+a4=a2+a3，∴x2是末项。如果你把x4当末项也可以，但这是首相就是x3=1/4了，结果一样。)

等差数列公差d=(7/4-1/4)÷3=1/2
x3=3/4,x4=5/4
m=1/4*7/4=7/16
n=3/4*5/4=15/16
或m=15/16,n=7/16
lm-nl=1/2

Answer 3

X的平方—2x+m=0
x的平方—2x+n=0
(x-1)平方=1-m
x=1±根号（1-m)
(x-1)平方=1-n
x=1±根号（1-n)
1+根号（1-m), 1+根号（1-n), 1-根号（1-n) ,1+根号（1-m),组成等差数列
2根号（1-n),=1/4
n=63/64
2根号（1-m), =3/4
m=55/64
数列11/8,9/8,7/8,5/8