Question

数列1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……的通项公式怎么求？

Answer 1

这是斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13。。。。的一部分，F(N)=F(N-1)+F(N-2)
“斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。 　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对； 　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对； 　　－－－－－－ 　　依次类推可以列出下表： 　　
经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
幼仔对数 0 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
成兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
幼仔对数=前月成兔对数 　　成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 　　总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数 　　可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： 　　F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，
斐波那契数列的求法
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)， 　　显然这是一个线性递推数列。 　　
方法一：利用特征方程（线性代数解法） 　　
线性递推数列的特征方程为： 　　X^2=X+1 　　
解得 X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 　
　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 　　
∵F(1)=F(2)=1。 　　∴C1*X1 + C2*X2。 　　C1*X1^2 + C2*X2^2。 　
　解得C1=1/√5，C2=-1/√5。 　　
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。 　　
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法） 　　
设常数r，s。 　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　　 则r+s=1， -rs=1。 　　
当n≥3时，有　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　
　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 　
　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 　　…… 　
　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。 　　
联立以上n-2个式子，得： 　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。 　　
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。 　　
上式可化简得： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 。 　
　那么： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。 　
　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)。 　
　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)。 　　
…… 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)。 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)。 　　
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。 　
　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。 　　
=(s^n - r^n)/(s-r)。 　　
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 　　
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}。 　　
方法三：待定系数法构造等比数列2（初等待数解法） 　　
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式。 　
　解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。 　　得α+β=1。 　　αβ=-1。 　　
构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。 　
所以
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)(1)。 an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)(2)。 　　
由式1,式2,可得。an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1) (3)。 　　
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)(4)。 　　
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,
化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

Answer 2

著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

你的数列是它的一部分

请看斐波那契数列的求法：
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

Answer 3

你好：
通项公式如下：
A1=1
A2=2
An=An-1+An-2

Answer 4

a(n)=n 1≤n≤2
a(n)=(n-2)+(n-1)=2n-3 n≥3