Question

高三数学题，急

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为 1/2,F1.F2分别为椭圆C的左右焦点，若椭圆C的焦距为2
(1)求椭圆C的方程
(2)设M为椭圆上一点，以M为圆心，MF1为半径做圆M,当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求三角形MF1F2面积的最大值

过程谢谢

Answer 1

（1）已知e=c/a=1/2，2c=2，
故a=2，b=√3
从而椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1
（2）当点M在椭圆上运动时，考虑三角形MF1F2的面积，把F1F2当做底，则底是定值，三角形的面积S仅取决于高，也就是M纵坐标的绝对值，显然M在(0，b)或(0，-b)处S取得最大值，而且随着绝对值y的减小而减小。
现在考虑限制条件，圆M与椭圆的右准线l有公共点，即圆心M到右准线的距离小于MF1，按椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点距离与到相应准线距离之比为离心率。所以2MF2<MF1，即M要靠近右端。
按第一段的分析，容易知道，2MF2=MF1时，S取得最大值（稍往左，2MF2>MF1，稍往右，S会变小）那么此时，MF1+MF2=2a=4，因而MF1=8/3，MF2=4/3，而FIF2=2c=2，三角形三边已知，求面积应该难不倒你了吧，你可以直接用公式或者用余弦定理正弦定理等，最后计算结果是√15/3