Question

请教一道求极限的题： lim[x->0](xcosx-sinx)/x^3 答案是使用洛必达法则得到-1/3 ，以下是我的做法：

分子分母同除x得到lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2,又因为lim[x->0]sinx/x=1,所以得到
lim[x->0]cosx-1/x^2,用-x^2/2等价无穷小替换cosx-1,最后得到-1/2.
想不明白到底错哪，困扰好久了，请教各位帮忙解惑，谢谢！

Answer 1

我来试试吧...

LZ是应该是大学生吧...总之，要从根本上来解答的话,必须用到
泰勒公式 和 无穷小的阶数 这两个概念
泰勒展开：cosx=1-1/2!x^2+1/4!x^4-....
sinx=x-1/3!x^3+1/5!x^5-...
于是xcosx-sinx=-1/3x^3+1/30x^5-...
lim(x→0)(xcosx-sinx)/x^3=lim(x→0)[-1/3x^3+1/30x^5-...]/x^3
=lim(x→0)[-1/3x^3]/x^3=-1/3
其中运用了一个等价无穷小...
设a(x),b(x)均为x0处的无穷小，（就是说x→x0，a(x),b(x)→0）
b(x)≠0， 若lim(x→x0) a(x)/b(x)=k≠0
则称a(x)与b(x)为同阶无穷小
当k=1时，称a(x),b(x)等价...
若k=0则称a(x)是b(x)的高阶无穷小（理解为更迅速→0，比如x²是x的高阶无穷小）
记为a(x)= o(b(x)),则有lim(x→x0) o(b(x))/b(x)=0

定理： 一般地，x→0时，一个无穷小a(x)与它的高阶无穷小(记为) o(a(x)) 之和与a(x)等价
证明：lim(x→x0) [a(x)+o(a(x))]/a(x)=lim(x→x0) a(x)/a(x)+lim(x→x0) o(a(x))/a(x)=1

而在求极限中，等价的无穷小是可以替换的
所以 -1/3x^3+1/30x^5-...可以用 -1/3x^3 来替换
（注意，不是等价无穷小就不能替换）

知识补充好了 我们来看看LZ的问题......
分子分母同除x得到lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2,又因为lim[x->0]sinx/x=1,所以得到
lim[x->0]cosx-1/x^2

错误产生了...LZ直接用 1 替换了 sinx/x，意思就是 1和sinx/x是等价无穷小...是这样吗？
错了...他们都不是无穷小..不能转换
即便要转换，也必须这样cosx-sinx/x~ cosx-1 -(sinx/x-1)~ cosx-1-0...
也就是说 sinx/x-1是0的等价无穷小...这显然是错误的

退一步说...
cosx-sinx/x和cosx-1 也不是等价无穷小...
cosx-sinx/x ~-1/3x^2 cosx-1 ~-1/2x^2
所以cosx-sinx/x不能被cosx-1替换...

产生这个的原因是什么？
原因是 cosx-1 和 sinx/x-1 是等价无穷小...他们都是x²的同阶无穷小..
cosx-1-(sinx/x-1)是多少阶是不能直接确定的，只知道它的阶数不小于2
这里运用cosx-1=-1/2x^2 正好和x^2是同阶无穷小也完全是运气...

所以说..根本原因就是 非等价无穷小的替换导致了 极限的错误

Answer 2

分子分母同除以x是没有错的，但后面的替换就有问题了，一般高数书中都会讲等价量替换最好是做为一个因式而不方便进行加减运算的，这样的运算往往会出错。比如说你这种做法，cosx和sinx/x在x->0都趋近于1，但两者的趋近程度是不一样的，两者差是一个无穷小量a，而你直接把sinx/x换成了1，cosx和1的差也是无穷小量b，但这两个无穷小量并不一定是同阶的（即使同阶也不容易等价），你这样的替换无意中把分子变掉了（不等价了），所以就产生错误了，不明白可以继续追问的。

Answer 3

虽然x->0时sinx/x->1，但并不能由此直接把sinx/x替换成1，因为你不能直接看出sinx/x-1的阶数
注意
lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2
= lim[x->0](cosx-1 + 1-sinx/x)/x^2
= lim[x->0](cosx-1)/x^2 + lim[x->0](1-sinx/x)/x^2
后面那项不能轻易扔掉，你的错误就在于此。

关于等价无穷小如何替换，你可以去看一下
http://zhidao.baidu.com/question/122716796.html

Answer 4

sinx = x - x^3 /3! +x^5 /5! +...
当 x->0， sinx /x =1 - x^2 /3! + 0(x^2)
lim[x->0](cosx-sinx /x) / x^2 = lim[x->0]( cosx - 1 + x^2 /3! ) / x^2
= lim[x->0]( - x^2 /2 + x^2 /3! ) / x^2
= - 1/3
不能把 sinx /x 用 1 来代换，因为你舍弃的是 x^2 的同阶无穷小，当然出错了。

Answer 5

不是你那样算，直接求倒，便能得到结果