Question

行列式与矩阵的初等变换！

行列式的一个性质说：交换行列式两行位置，行列式的值要乘一个(－1)；但是矩阵的初等变换第三条说：可互换两行位。 那么…初等变换是针对矩阵的吧？ 请解释一下行列式、矩阵、初等变换三者之间的联系，谢谢！我想了很久也没明白。

Answer 1

我们称对行列式的换法变换、倍法变换、消法变换为行列式的初等变换。换法变换：交换两行（列）。
倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。
消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。
换法变换的行列式要变号；倍法变换的行列式要变k倍；消法变换的行列式不变。
求解行列式的值时可以初等行变换和初等列变换同时使用。

Answer 2

你的这个问题提得非常好，它牵涉着矩阵（甚至数学）最本质的解释。
我先初略给你说明一下：
（我解释的顺序是按这三个概念在数学工作者思维的产生的先后顺序）
最先解释的当然是矩阵，通常所指的矩阵实际就是一个二维数表。它诞生的目的之一是为解线性方程组（当然在数学中的作用不止这个）
而数学工作者在研究它（矩阵）如何方便于解方程组的过程中，想到了提出一种合理的变换---初等变换，下面我来解释一下为什么说这种变换合理：因为初等变换的本质就是等式的基本性质。按照合理性来说，初等行变换是最具代表性的：
1.某行乘以非零数的那个变换体现了‘等式两边可以同时乘以非零数而不改变的等式性质’的本质思想。
2.某行乘以非零数加到另一行的那个变换体现了‘等式两边可以同时乘以非零数而不改变的等式性质’以及‘一个等式两边可以分别加到另一等式两边’的等式性质
3.某两行可以相互交换当然合理，因为交换后的方程组与原来依然同解。
初等列变换在某种意义上来说，意义不大，因为他不过是改变了需要求解的方程未知数的解出顺序。
最后再浅谈行列式，它是专门为一类特殊方程组的求解服务的，这种特殊的方程组是由含有n个未知数的n个方程组成。例如：行列式最终得出的克拉默法则等等。。。

虽然我的解释比较初略，但是我还是希望你更多的站在创造这些数学概念的人的角度想，他们是觉得这些数学概念有用，并且可以足够合理准确地服务于人类生活才引进的，不是凭空瞎想，你可以细心慢慢琢磨，执果索因，相信你一定会理解到更加本质的东西的。
还有数学是一个系统（但绝不封闭，因为会不断有新的抽象概念的引入），它只要足够合理我们就认定它是科学的，所以数学概念是相互关联，相互作用的，很少有绝对独立的数学概念。
希望对你有帮助。

Answer 3

矩阵和线性映射没有太特殊的区别，初等变换是特殊的线性变换，行列式则是方阵的一种函数，这些没什么好多解释的，学过自然能明白。

初等变换和行列式的几条性质确实是有关系的，其间的桥梁就是行列式乘积定理，即|A||B|=|AB|。这一定理一般用行列式的性质来证明，但是反过来也可以帮助理解行列式的基本性质。
1.对于第一类初等变换L1(i,j)，其表示矩阵是一个排列阵，行列式为-1，由行列式乘积定理来看就是|L1(i,j)A|=-|A|，即交换行列式的两行则行列式的值乘-1。
2.对于第二类初等变换L2(i,c)，其表示矩阵是一个对角阵，行列式为c，这样|L2(i,c)A|=c|A|，即行列式的第i行乘c后行列式的值也乘c。
3.对于第二类初等变换L3(i,j,c)，其表示矩阵是一个三角阵I+c*e_i*e_j^T，行列式为1，所以|L3(i,j,c)A|=|A|，即行列式的一行乘一个常数后加到另一行上不改变行列式的值。
以上性质从初等变换的角度来看就是对矩阵A做初等变换L后得到的新矩阵LA的行列式|LA|可以从A的行列式|A|按某规则稍加改变得到。
对于列变换则可以把相应的初等矩阵右乘在矩阵上，也对应于一组行列式的性质。

需要注意的是，逻辑上一般是用行列式的性质去证明行列式乘积定理，上面的讲法只是用于理解。
至于行列式和三类初等变换，最初引进的目的大体上就是为了解线性方程组，楼上已有人讲了。

Answer 4

这是两个独立的问题
1. 行列式 是一个值, 它有若干个性质, 比如交换两行(列)行列式变符号
在这里, 我们并不把这类变换称为行列式的初等变换, 而是称之为行列式的性质

2. 矩阵的初等变换
矩阵是一个数表
矩阵的初等行变换来源于解线性方程组时用的消元法
矩阵的每一行对应一个方程
交换矩阵的两行相当于交换了方程组中两个方程的位置, 其它行变换都保持方程组的同解性.
然后又推广到矩阵的初等列变换

Answer 5

矩阵的初等变换是保持矩阵的秩不变的情况下进行的操作，变换后行列式一般改变但秩不变。
求行列式的那个方法并不是初等变换，它也是在保持行列式不变的基础上进行的操作。