Question

题目：f(x)=-(1/3)X^3+2aX^2-3a^2X+b(0<a<1) 问：（1）求f(x)单调区间和极大,极小值

（2）当x属于[a+1,a+2]时， f(x)的导数的绝对值<=a,求a的取值范围
哪位高才生帮帮忙， 急需！谢谢了！

Answer 1

(1)f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-3a)(x-a)
因为0<a<1,所以3a>a,
从而
负无穷到a单调减，a到3a单调增，3a到正无穷单调减
极小值为f(a)=-4a^3/3+b
极大值为f(3a)=b.

(2)
f'(x)对称轴为x=2a<a+1<a+2
图象为对称轴的右边部分,所以
最小值为 |f'(a+2)| =|4(a-1)|<=a
4-4a<=a
5a>=4,a>=4/5
所以
a的取值范围:4/5<=a<1.

Answer 2

很简单，只需求导即可
f(x)求导后就与b无关了，又因为知道a的范围，而求导后的新函数就变成了我们熟悉的二次函数了。
如果你练习做的多的话，再求第二问时，还是有思绪的。此时，可将导函数看成是以a的函数，这样就转化过来了，即所谓的转化思想。需自身花很长时间练出来的，别怕浪费时间哦！！！

Answer 3

f(x)=-(1/3)X^3+2aX^2-3a^2X+b(0<a<1)
对f(x)求导，得 f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-a)(x-3a)
1) 当f'(x)≥0时，函数为增函数，此时-(x-a)(x-3a)≥0
解不等式得，a≤x≤3a，即单调递增区间为[a,3a]
当f'(x)≤0时，函数为减函数，此时-(x-a)(x-3a)≤0
解不等式得，x≤a或x≥3a，即单调递减区间为[-∞,a]∪[3a,+∞]
当f'(x)=0时，函数取得极值，此时-(x-a)(x-3a)=0
解得x1=a，x2=3a
∵x≤x1时为减函数，x≥x1时为增函数，∴f(x)在x1处取得极小值；类似地，在x2处取得极大值
∴极小值为f(x1)=f(a)=-(1/3)a^3+2aa^2-3a^2a+b=-4a^3+b
极大值为f(x2)=f(3a)=-(1/3)(3a)^3+2a(3a)^2-3a^2(3a)+b=b
2）当x∈[a+1,a+2]时，|f'(x)|≤a
即|-(x-a)(x-3a)|≤a，即-a≤-(x-a)(x-3a)≤a
解左边不等式，得2a-√(a^2+a)≤x≤2a+√(a^2+a)
解右边不等式，得x≥2a+√(a^2-a)或x≤2a-√(a^2-a)
两组解合并取交集，得x的解为：
[2a-√(a^2+a),2a-√(a^2-a)]∪[2a+√(a^2-a),2a+√(a^2+a)]
又已知取得此解的前提为x∈[a+1,a+2]
∴有：a+1≤2a-√(a^2+a), a+2≥2a-√(a^2-a)
或a+1≤2a+√(a^2-a), a+2≥2a+√(a^2+a)
对第一组不等式组，移项得，√(a^2+a)≤a-1<0，无解
对第二组不等式组，解得x≥4/5
∴a的取值范围为：4/5≤a≤1