Question

设0≤x≤2, 求函数y=4&sup0.5x;－a×2&supx;＋a²÷2＋1的最大值和最小值(要过程)

Answer 1

这个是原题？高中的吧？！sup是什么，&是什么，你确定是数学题目?

追问

是次方，打出来就这样

追答

是根号？

追问

4&sup0.5x是4的0.5x次

追答

嗯 了解了，y=4^0.5x-a*2^x+a^2/2+1是吗
首先4^0.5x可以化成2^x,
则原式变成y=(1-a)2^x+a^2/2+1
要求该式的最值需要用到函数的单调性
你需要知道
1、2^x在R上是增函数；
2、增函数乘以正数单调性不变，增函数乘以负数单调性相反；
3、函数加上一个常数后单调性不变
---------------------------------------分割线-------------------------------------------
下面就根据该函数的单调性来求最值
1、1-a>0,即a1时，y是减函数，有f（0）>f(2)，最小值为f(2)，最大值为f(0)
3、1-a=0,a=1时，原式最大值为3/2
综上，函数最大值是3/2；a1时，最小值为f(2)
--------------------------------------------小结---------------------------------------------
如果有地方不懂可以再问我，很高兴为你解答
如果你学到了导数，那么这题还有别的方法
注：2^x相当于2的x次方

追问

再写一下导数方法的详细过程，我可以再追加分数

追答

嗯，我还以为你没学到导数
导数就简单啦！
首先你要知道指数函数的导数等于什么，
例如a^x，它的导数是(a^x)*lna
----------------------------------------分------------------------------
原式变成y=(1-a)2^x+a^2/2+1
对其求导变成y'=(1-a)*(2^x)*ln2
根据导数与0比较得出函数的单调性，

上式中2^x>0(画个指数函数图像就OK)，ln2是个大于0的常数
那么可以决定导函数符号的只有1-a

则我们考虑三种情况，分别为a大于、小于、等于1
a大于1时，整个导函数小于0（负*正*正），则原函数是减函数
a=1时 ，导函数等于0，原函数取极值
a小于1时，导函数大于0（正*正*正），原函数是增函数
下面的步骤就和上一种方法一样了，判断出最大值，和两种情况下的最小值
--------------------------------------小结-----------------------------------------
其实两种方法的解题思想都是根据参数取值对函数单调性的影响，并根据函数的单调性这种高中第一种用来求函数极值的方法求出最终答案，
数学题最终都是一种返璞归真，就像解具体函数题时，绘图是最简便直观的方法