Question

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)6(n-1)+2 (1)令bn=2^n*an,求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项

（2）令Cn=(n+1)/n*an,Tn=c1+c2+.....+cn试求Tn

Answer 1

是这个吗?Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
(1)Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
所以 S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2
相减
Sn-S(n-1)=an=-an-(1/2)^(n-1)+a(n-1)+(1/2)^(n-2)
(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2)-1/2*(1/2)^(n-2)=(1/2)^(n-1)
2an=a(n-1)+(1/2)^(n-1)
同乘以2^(n-2)
an*2^(n-1)-a(n-1)*(2)^(n-2)=1/2
即数列{an*2^(n-1)}是以公差为1/2的等差数列,
首项a1*2^0=a1=S1=-a1-(1/2)^(1-1)+2=1-a1,a1=1/2
所以
an*2^(n-1)=a1+(n-1)*1/2=n/2
an=n/2*(1/2)^(n-1)=n*(1/2)^n
bn=2^n*an=n，
所以bn是等差数列
(2)Cn=(n+1)/n*an=Cn=(n+1)/n*(n*(1/2)^n)=(n+1)*(1/2)^n
Tn=c1+c2+.....+cn=2*(1/2)+3(1/2)^2+4(1/2)^3+......+(n+1)*(1/2)^n
1/2Tn=1/2(c1+c2+.....+cn)=2*(1/2)^2+3(1/2)^3+4(1/2)^4+......+(n+1)*(1/2)^(n+1)
相减得
1/2Tn=2*(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+......+(1/2)^n -(n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+(1/2)(1-(1/2)^n)/(1-1/2)-(n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+1-(1/2)^n-(n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2-(n+3)/2*(1/2)^n.

太累人,本想摆渡一下,发现答案是错的,就化了点时间算了一下,希望对你,对后人皆有帮助!

Answer 2

s(n)=-a(n)-1/2^(n-1)+2.
a(1)=s(1)=-a(1)-1+2, a(1)=1/2,
a(n+1)=s(n+1)-s(n)=a(n)-a(n+1)-1/2^n+1/2^(n-1),
a(n+1)=a(n)/2 + 1/2^n,
2^(n+1)a(n+1)=2^na(n)+2,
{b(n)=2^na(n)}是首项为2a(1)=1,公差为2的等差数列.
2^na(n)=1+2(n-1)=2n-1,
a(n)=(2n-1)/2^n,

Answer 3

题目是Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2吧？
an=sn-s(n-1)=a(n-1)-an+(1/2)^(n-1)
即
2an=a(n-1)+(1/2)^(n-1)
2^n*an=2^(n-1)*a(n-1)+1
2^n*an-2^(n-1)*a(n-1)=1
所以成立
利用和式可以求得a1，进而求得b1，可以求b的通项
a的通项也就出来了