如图，已知AB=AC，∠A=90°，，D在△ABC内，且BD=AB，∠ABD=30°，求证：△DCA为等腰三角形
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证明:取点D关于BC的对称点E,连接BE,DE,DC.则:
BE=BD=BA;CD=CE;∠EBC=∠DBC=15°,则∠EBD=∠ABD=30°;又BD=BD.
故⊿EBD≌ΔABD(SAS),∠BED=∠BDA=∠BAD=75°;
而∠ABE=60°,故⊿ABE为等边三角形,AE=AB=AC;∠BAE=60°,∠EAC=30°,则∠AEC=75°.
∴∠DEC=∠BEA=60°;则⊿CDE为等边三角形,∠DCE=60°,∠DCB=30°,∠ACD=15°.
又∠CAD=90°-∠BAD=15°,故:∠ACD=∠CAD,CD=AD.
(注另证:也可构造正方形ABEC,连接EF.证明:略)
BE=BD=BA;CD=CE;∠EBC=∠DBC=15°,则∠EBD=∠ABD=30°;又BD=BD.
故⊿EBD≌ΔABD(SAS),∠BED=∠BDA=∠BAD=75°;
而∠ABE=60°,故⊿ABE为等边三角形,AE=AB=AC;∠BAE=60°,∠EAC=30°,则∠AEC=75°.
∴∠DEC=∠BEA=60°;则⊿CDE为等边三角形,∠DCE=60°,∠DCB=30°,∠ACD=15°.
又∠CAD=90°-∠BAD=15°,故:∠ACD=∠CAD,CD=AD.
(注另证:也可构造正方形ABEC,连接EF.证明:略)
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