Question

谁帮我解出这个高数求极限积分的问题？

Answer 1

4 π^4 /15

追问

哇靠，对啦。解题过程什么样子能，能不能写下来具体过程，拍成图片，传上来。大哥你真厉害！

追答

∫ x^4 * e^x / (e^x-1)^2 dx
= ∫ x^4 d [ -1/(e^x-1)]
= - x^4 /(e^x-1) + 4 ∫ x^3 / (e^x -1) dx 分部积分，第一项=0
= 4 ∫ x^3 * e^(-x) / [1- e^(- x )] dx
e^(-x)/ [1- e^(- x )] = e^(-x) + e^(-2x) + e^(-3x) + …… + e^(-nx) + …… 级数展开
∫ x^3 * e^(- nx)dx
= (1/n^4) ∫ u^3 * e^(-u) du Gamma 函数
= (1/n^4)* Gamma(4) = 3! / n^4
∫ x^3 * e^(-x)/ [1- e^(- x )] dx
= 3! ∑ 1/n^4 = 3! * π^4 /90 ∑ 1/n^4 = π^4 /90
= π^4 /15
原式= 4π^4 /15

Answer 2

。。。。好BT的题目啊