Question

求高人解答，几道高中物理题：

1.太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此星上一昼夜的时间是6h，在行星的赤道处用弹簧测力计测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%。已知万有引力恒量G=6.67乘以10的负11次方（N·m2)/Kg2，求此行星的平均密度。
2.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量为M1和M2，相距L，试求出它们角速度的表达式。
3.如图所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1Kg的小球，两绳的另一端分别固定在轴上A,B两处，上面绳AC长L=2m，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动的角速度ω=4rad/s时，上，下两轻绳拉力各为多少？

Answer 1

解：1.设恒星质量为M，自转一周用时t，赤道的线速度是v，半径r，重力加速度是g。
对于一个质量m的物体，在两极重力是mg，赤道重力是mg-mv²/r=0.9mg，算出g=10v²/r
再用v=2πr/t代入，得g=40π²r/t²。又有公式g=GM/r²。联立求得M，则密度
ρ=M/(4/3)r³=30π/t²G=3.03X10³kg/m³

2.双星的运动,大的一颗质量M，速度和轨道半径都较小为v和r；
小的一颗质量m，速度和轨道半径都较大为V和R。
大的恒星在小恒星的万有引力作用下绕O点做圆周运动，表示为：
Mv²/r=GMm/L² （1）
小的恒星在大恒星的万有引力作用下绕O点做圆周运动，表示为：
mV²/R=GMm/L² （2）
联立（1）（2）式，得
Mv²/r= mV²/R （3）
注意，两颗星的轨道周期相同都是T。所以V=2πR/T，v=2πr/T。代入（3）式，即得
Mr=mR（消去v、V）
r/R=m/M
Mv=mV（消去r、R）
v/V=m/M
因为轨道周期相同，所以二者角速度w相同，为
w=v/r=V/R

3.两绳张紧时，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值.
（1）BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有Fx=F1sin30°=mω12Lsin30° ①
Fy=F1cos30°-mg=0 ②
代入已知解①②得 ω1=2.40 rad/s
（2）AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2，则有
Fx=F2sin45°=mω22Lsin30° ③
Fy=F2cos45°-mg=0 ④
代入已知解③④得 ω2=3.16 rad/s
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2.40 rad/s＜ω＜3.16 rad/s.

Answer 2

1.解，设
g1为两级重力加速度,g2为赤道重力加速度，密度为ρ
有g1/g2=10/9=(GM/R^2)/((GM/R^2)-R(4π^2)/T^2)
上式M用ρ(4/3)πR^3 T用6x3600(单位为秒)带入,可以得到关于ρ的一元方程，解可以得到ρ

2解，设
M1星球距离质心距离为R1，M2距离质心距离为R2。角速度为w（这里两颗行星有相同角速度是隐藏条件）
有M1xR1xw^2=M2xR2xw^2
R1+R2=L
由上面两个公式可以求得R1.R2
再者，万有引力提供向心力
(GxM1xM2)/L^2=M1xR1xw^2
由上面公式可以求得w

3解
这里只要注意到两个绳子拉力的垂直分量与重力平衡，绳子拉力的水平向左的分量与向右的惯性离心力平衡就很容易做出来。
两个条件两个方程。
设AC的拉力为f1,另一个f2
有 f1xcos30+f2xcos45=mg
f1xcos60+f2xcos45=mrw^2
圆周运动半径由AC可以求出。
答案自己算算，毕竟全给你解出来，对你貌似不太好，对我而言也太繁琐。

Answer 3

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