Question

如图，以三角形ABC的各边为一边分别向BC边得同侧作正三角形 ABD，BCF，ACE。连接FD，FE。

1.当三角形ABC满足什么结论时，四边形AEFD是菱形？证明。
2.当∠BAC满足什么条件时，四边形AEFD是矩形，并证明。
3.在什么条件下，四边形AEFD是正方形？证明。

Answer 1

分析：
（1）当ADFE是菱形时，AE=AD，此时AB=AC；
（2）当ADFE是矩形时，∠EAD=90°，由此可求得∠BAC的度数）
（3）当ADFE是正方形时，∠EAD=90°，且AE=AD，联立（1）（2）的结论即可．
解答：
证明：
（1）若平行四边形AEFD是菱形，则AE=AD；
此时AE=AB=AC=AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；
（2）若平行四边形AEFD是矩形，则∠EAD=90°；
∴∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°；
即△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形
（3）综合（1）（2）的结论知：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形AEFD是正方形
不懂，请追问，祝愉快O(∩_∩)O~

Answer 2

以三角形ABC的各边为一边分别向BC边得同侧作正三角形 ABD，BCF，ACE，
∴∠DBF=60°-∠ABF=∠ABC,BD=AB,BF=BC,
∴△DBF≌△ABC（SAS),
同理，△ABC≌△EFC,
∴AD=AB=EF,DF=AC=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形。
1.四边形AEFD是菱形，
<==>AD=AE,
<==>AB=AC.
2.四边形AEFD是矩形,
<==>∠DAE=90°，
<==>∠BAC=(360-90-60*2)°=150°。
3.四边形AEFD是正方形，
<==>四边形AEFD是菱形,又是矩形，
<==>AB=AC,且∠BAC=150°。