Question

如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC为等腰三角形,顶角∠BDC=120°,M,N分别是线段AB,AC上的点，且∠MDN

如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC为等腰三角形,顶角∠BDC=120°,M,N分别是线段AB,AC上的点，且∠MDN=60°，延长AC到T，使CT=BM.
（1）求证∠CTD=∠BMD；
（2）求△AMN的周长。

Answer 1

(1)证明:连接DT.
BD=CD,∠BDC=120°,则:∠DBC=∠DCB=30°;则:∠ABD=∠ACD=90°;
∵∠DBM=∠DCT=90°;DB=DC;BM=CT.
∴ ⊿DBM≌ΔDCT(SAS),∠CTD=∠BMD.
(2)解:⊿DBM≌ΔDCT(已证),则DT=DM;∠CDT=∠BDM.
∠CDT+∠CDN=∠BDM+∠CDN=∠BDC-∠MDN=60°,故∠TDN=∠MDN;
又DN=DN,则⊿TDN≌ΔMDN(SAS),TN=MN.
∴AM+AN+MN=AM+AN+TN=AM+AN+(NC+CT)=AM+AN+(NC+BM)=AB+AC=2.