Question

AB为圆O的直径,且弦CD垂直AB于点E,过点B的切线与AD的延长线交于点F,若cosC=4/5,DF

AB为圆O的直径,且弦CD垂直AB于点E,过点B的切线与AD的延长线交于点F,若cosC=4/5,DF=3,求圆O的半径

Answer 1

解：连BD
因为AB是直径
所以BD⊥AF
因为BF切圆O于B
所以∠C=∠DBF=∠A
因为cosC=4/5,
所以cos∠DBF=4/5
所以sin∠DBF=3/5
又DF=3
所以BF=5
又cosA=cosC=4/5
所以tanA=3/4
所以BF/AB=3/4
所以AB=20/3
即圆O的半径为10/3

Answer 2

（1）证明：
（方法一）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，
由垂径定理得，点E是CD的中点；
又∵M是AD的中点，
∴ME是△DAC的中位线，
∴MN∥AC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠MNB=90°，即MN⊥BC；
（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED=∠BEC=90°．
M是AD的中点，
∴ME=AM，即有∠MEA=∠A．
∵∠MEA=∠BEN，∠C=∠A，
∴∠C=∠BEN．
又∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠BEN=90°，
∴∠BNE=90°，即MN⊥BC；
（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED=90°．
由于M是AD的中点，
∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM．
又∵∠CBE与∠EDA同对，∴∠CBE=∠EDA．
∵∠MED=∠NEC，
∴∠NEC=∠CBE．
∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠NEC+∠C=90°，
即有∠CNE=90°，即MN⊥BC．

（2）解：连接BD．
∵∠BCD与∠BAF同对，∴∠C=∠A，
∴cos∠A=cos∠C=．
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．
在Rt△ABF中，cos∠A==，
设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x．
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴△ABF∽△BDF，
∴，
即，
x=．
∴直径AB=4x=4×，
则⊙O的半径为．