Question

三角形ABC内接于以O为圆心的圆，且3OA+4OB=5OC,则角C为多少？

Answer 1

三角形ABC内接于以O为圆心的圆，且3OA+4OB=5OC,则角C为多少？
解：∵圆O是△ABC的外接圆，∴︱OA︱=︱OB︱=︱OC︱=R，不失一般性，可设R=1；
不难证明∠AOB=2∠C.
∵3OA+4OB=5OC，∴︱3OA+4OB︱=︱5OC︱
按平行四边形法则和余弦定理有等式：
︱3OA︱²+︱4OB︱²-2︱3OA︱︱4OB︱cos(180°-2C)=︱5OC︱²
即有9︱OA︱²+16︱OB︱²+24︱OA︱︱OB︱cos2C=25︱OC︱²
用︱OA︱=︱OB︱=︱OC︱=R=1代入，即得：
9+16+24cos2C=25，24cos2C=0，cos2C=0，∴2C=90°，C=45°。

Answer 2

答案同上。