Question

数列问题（求具体解题过程）

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
如果不是诚心答题，请不要捣乱！

Answer 1

设三角形的层数是n, 对应陵烂源数字是1+2+......+n=n(n+1)/2
设正方形的层数是m,对应数字是m^2
只要找到历圆ABCD中哪一个数字s使得s=n(n+1)/2和s=m^2都有正整数解n和m即可
检尺态验发现：
289 ＝17²
1024＝32²
1225＝35²
1378不是平方数
1225＝49×50／2
所以选C

追问

"an=n(n+1)/2"这个通项试是怎么得出来的？

追答

这是等差数列求和的公式，如果还没有学到的话就先记住好了。其实就是第一项1加上最后一项n的和，与项数也就是n相乘，再除以2.

追问

我在预习新课，这道题是在“数列的概念与简单表示法”这节中出现的，用这节的知识不能解决吗？

追答

可以你把1+2+......+n的结果推到出来就可以了，方法是计算2*(1+2+......+n)，然后把1+n, 2+n-1, 3+n-2, ..... ,n-1+2, n+1 分别归类合并在一起求和，它们都是1+n, 然后就推出上面的那个公式了。

Answer 2

三角形数的通项公型姿式是﹙n²/2﹚+﹙n/2﹚
正方形数的通项公式是n²
1225=n²，n是35，35是整数，所以35是正方形卜团绝数
1225=﹙n²/2﹚+﹙n/2﹚，n=99,，99也是整数，所以99是三角形数或岩
经代入验算289，1225，1378都不是正方形数
所以下列数中既是三角形数又是正方形数的是1225

祝你学习愉快哦

追问

“三角形数的通项公式是﹙n²/2﹚+﹙n/2﹚”怎么得出来的？

追答

由1（序号为1）， 3（序号为2） ，6（序号为3）， 10(序号为4）可以看出每一个数都是前一个数加上本身的序号（如3=1+2，6=3+3，10=6+4）
像这种类型的，它的通项公式就是二次函数（其实就是递推数列)
设通项为An²＋Bn+C=m （n是序号，m是三角形数)
有三个未知数ABC，找三组数代入列三个方程就能解出（1，1），（2，3），（3，6）
A+B+C=1
4A+2B+C=3
9A+3B+C=6
A=1/2，B=1/2，C=0
所以三角形数=﹙n²/2﹚+﹙n/2﹚

Answer 3

图1中，通项公式：an=n(n+1)/颂灶2；图2中，的通项公式：an=n²；其中A、B、C符合羡凯图2通项公式要求，三个数代入野派扮图1通项公式，解是整数的为C1225。

Answer 4

A.289 ＝肆迟 17² B.1024＝32² C.1225＝35² D.1378不是平方数
A.289 B.1024 C.1225＝49×50／2 D.1378
故正雹碧选举举C.