Question

已知函数f（x）=（2的x次方-1）/（2的x次方+1） 1 判断奇偶性 给出证明2 判断单调性 给出证明3 求值域

Answer 1

f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)
f(-x)=(2^(-x)-1)/(2^(-x)+1)……分子分母同乘以2^x可得下式
=(1-2^x)/(1+2^x)
=-f(x),
所以函数是奇函数。

设 X1 X2是R上的任意两实数,且满足 X2 > X1
f(X2) - f(X1) = (代入原函数解析式，通分整理可得下式)
=[2(2^X2 - 2^X1)]/{(2^X1 +1)(2^X2 +1)}
依据指数函数单调性易知 2^X2 -2^X1 >0 2^x>0
f(X2) - f(X1)>0
∴原函数为R上的增函数

f(x)=[(2^x)-1]/[(2^x)+1]
=[(2^x)+1-2]/[(2^x)+1]
=[(2^x)+1]/[(2^x)+1]-{2/[(2^x)+1]}
=1-{2/[(2^x)+1]}
因为2^x>0，(2^x)+1>1,
所以0<1/[(2^x)+1]<1, -2<-{2/[(2^x)+1]} <0，
∴-1<1-{2/[(2^x)+1]} <1.
函数值域是(-1,1).

Answer 2

1.是偶函数。。
2.
3.