Question

如何学好“二次函数”

Answer 1

二次函数
二次函数与圆的知识一样，在初中数学占有重要的地位.对二次函数的考查经常跟方程等知识相结合.

概念与图像

重点难点
(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.
(2)理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,探索掌握二次函数的性质.

内容提要
(1)形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
(2)当a<O时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<O时，函数y=ax2的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>O时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0.
典型一例
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
求增种树的棵数与橙子总产量之间的函数关系.
解：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.
y=(100+x)(600-5x)
=-5x²+100x+60000.

图象性质
重点难点
(1)确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质.
(2)正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是难点.

探索求知
1.你能发现函数y=2(x－1)2＋1的图象有哪些性质吗?
函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1.
2.你能说出函数y=－13(x－1)2＋2的图象与函数y=－13x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
函数y＝－13(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－13x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)

描点法

重点难点
(1)用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象;通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
(2)理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b2a、(－b2a，4ac－b24a)是难点.
探索求知
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1).
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的.
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?
当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1.
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
因为y＝－12x2＋x－52＝－12(x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2).

经典一例
请画出函数y＝－12x2＋x－52的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
分析:由以上探索求知，大家已经知道函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－12x2＋x－52的图象，进而观察得到这个函数的性质.
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －612
－4 －212
－2 －212
－4 －612
…
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－12x2＋x－52的图象.
说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的.
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观.
则可得到这个函数的性质如下:
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2.

解决问题

重点难点
根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是这部分知识的重点也是难点.
探索求知
1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－10.
y＝6(x＋1)2－6，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是(－1，－6)；y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－6).
2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?
函数y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6，函数y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6.