Question

已知数列{an}中，a1=3/5,通项an=2-1/a(n-1)（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=1/(an-1)(n∈N*)

证明数列{bn}是等差数列，并求出通项bn

Answer 1

an=2-1/a(n-1)，ana(n-1)=2a(n-1)-1，an-1=1-1/a(n-1)，1/(an-1)=a(n-1)/[a(n-1)-1]，则bn=1/(an-1)=a(n-1)/[a(n-1)-1]，b(n+1)=an/(an-1)，b(n+1)-bn=an/(an-1)-a(n-1)/[a(n-1)-1]
=[ana(n-1)-an-ana(n-1)+a(n-1)]/[ana(n-1)-an-a(n-1)+1]=[a(n-1)-an]/[2a(n-1)-1-an-a(n-1)+1]=1，则b(n+1)-bn=1，数列{bn}是等差数列，公差d=1，b1=1/(3/5-1)=-5/2，bn=-5/2+n-1=n-7/2
通项bn=n-7/2

Answer 2

要证数列{bn}是等差数列，只需证bn-b(n-1）是固定常数
bn-b(n-1）=1/(an-1)-1/{a（n-1）-1}=1/{2-1/a(n-1)-1}-1/{a（n-1）-1}={a（n-1）-1}/{a（n-1）-1}=1 得证数列{bn}是等差数列 b1=-5/2 d=1 根据通项公式算就好 bn=n-7/2