Question

直线l:y=kx+1与双曲线C:3x^2-y^2=1相交于不同的A,B两点.(1)k=2时,求AB的长度;

(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点?

Answer 1

(1)k=2，则y=kx+1=2x+1，直线l：y=2x+1与双曲线C：3x^2-y^2=1相交于不同的两点A、B，故设A(x1,2x1 +1)、B(x2,2x2 +1)。
将y=2x+1代入3x^2-y^2=1得：x^2+4x+2=0，由此得x1+x2=-4，(x1)(x2)=2，于是
|AB|=根号{(x2-x1)^2+[(2x2 +1)-(2x1 +1)]^2}=根号[5*(x2-x1)^2]
=根号{5*[(x2+x1)^2-4(x1)(x2)]}=2倍根号10；
(2)由（1）得A(x1,kx1 +1)、B(x2,kx2 +1)
将y=kx+1代入3x^2-y^2=1得：(3-k^2)x^2-2kx-2=0，由此得
x1+x2=(2k)/(3-k^2)，(x1)(x2)=2/(k^2-3)，判别式=(-2k)^2+8(3-k^2)=24-k^2>0，于是
|AB|=根号{(x2-x1)^2+[(kx2 +1)-(kx1 +1)]^2}=根号[(1+k^2)*(x2-x1)^2]
=根号{(1+k^2)*[(x2+x1)^2-4(x1)(x2)]}=2倍根号{[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]}；
因此以AB为直径的圆的半径为根号{[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]}，圆心为(k/(3-k^2),3/(3-k^2))，故该圆的方程为：[x-k/(3-k^2)]^2+[y-3/(3-k^2)]^2=[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]
如果坐标原点在此圆上，则[k/(3-k^2)]^2+[3/(3-k^2)]^2=[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]
即k^2=3或k^2=1
综上，存在存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点。

追问

请问3楼主,要除去K^2不等于3吗?

追答

是的，要舍去。

Answer 2

1，将直线方程和曲线方程联立求解即可得到一个关于X的一元二次方程，再根据韦达定理（根与系数的关系）将y=kx+1代入C的方程得（3-k^)x^-2kx-2=0(k不等于3）所以X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；所以AB^=(1+k^)*[(X1+X2)^-4X1X2;将X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；代入AB的弦长中即可求出AB了，结果为2*根号[(1+k^)(6-k^)]/(3-k^)(方括号中的为根号下的项)

2.以线段AB为直径的圆经过坐标原点,则，AO和BO垂直，所以斜率之积为-1.即Y1Y2=-X1X2.（*）将Y1=kX1+1,Y2=kX2+1代入（*）式即可得到（k^+1)X1X2+k(X1+X2)+1=0（Ⅳ)再将X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；代入（Ⅳ)即可得到k^=1,所以k=+ -1,所以存在k满足条件

追问

将y=kx+1代入C的方程得（3-k^)x^-2kx-2=0(k不等于3????????）K为什么不等于3

所以AB^=(1+k^)*[(X1+X2)^-4X1X2;将X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；???????????\
请问弦长公式是什么?

Answer 3

1、当k=2时有：y=2x+1, 3x^2-y^2=1，联立解得：
A、B两点的坐标分别为：(-2+√6，-3+2√6)，(-2-√6，-3-2√6)
AB的长度=√[(-2+√6+2+√6)^2+(-3+2√6+3+2√6)^2]=2√30
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点,也就是A、B两点关于原点对称则：
x1+x2=0,y1+y2=0
将y=kx+1代入曲线方程得：
(k-3)x^2-2kx-2=0 应有x1+x2=0即：2k/(k-3)=0 得到k=0
当k=0时，y=1，不符合y1+y2=0
综上所述，不存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点,

追问

请问当k=2时有：y=2x+1, 3x^2-y^2=1，联立解得这个答案吗?
A、B两点的坐标分别为：(-2+√2，-3+2√2)，(-2-√2，-3-2√2)
请老师再帮计算一下,谢谢!

追答

对不起，是我算错了，应该是：(-2+√2，-3+2√2)，(-2-√2，-3-2√2)