Question

设函数fx=（x+1）In（x+1），若对所有的x大于等于0，都有fx大于等于ax恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(x+1)ln(x+1)>=ax
a<=(x+1)ln(x+1)/x=f(x)
f'(x)=(x-ln(x+1))/x^2
令g(x)=x-ln(x+1)
g'(x)=x/(x+1)>=0
所以g(x)为增函数 又g(0)=0
所以g(x)>=0
所以f'(x)=g(x)/x^2>=0
所以f(x)为增函数
f(x)min=lim(x->0) ((x+1)ln(x+1)/x)=lim(x->0) (ln(x+1)+1)=1
所以a<=1

Answer 2

(x＋1)ln(x＋1)≥ax ====>>> a≤[(x＋1)ln(x＋1)]/x
设g(x)=[(x＋1)ln(x＋1)]/x，则a≤【g(x)的最小值】即可。
g'(x)=[x－ln(x＋1)]/(x²) ====>>>> 设h(x)=x－ln(x＋1)，则h'(x)=1－1/(x＋1)，因
x≥0，则h'(x)>0，即：h(x)是递增的，则h(x)的最小值是
h(0)=0
从而g'(x)≥0，即：g(x)是递增函数，所以g(x)的最小值是g(1)=2ln2，
所以，a≤2ln2

追问

为什么“g(x)的最小值是g(1)=” 并没有说x最小值是1啊？

追答

设g(x)=(x＋1)ln(x＋1)－ax ====>>>>> g'(x)=1＋ln(x＋1)－a
1、显然，当a1，则g'(x)=0 ====>>>>> ln(x＋1)=a－1 ===>>>> x=e^(a－1)－1
即：当0e^(a－1)－1时，g(x)递增，从而只需：
g(e^(a－1)－1)≥0就可以了，得：[e^(a－1)][a－1]≥a[e^(a－1)－1]
a≥e^(a－1)
这个不等式怎么解？？？？？？？