Question

如图,在三角形ABC中,点O是AC的一个动点，（O点与A,C不重合），过点O作直线MN平行

如图,在三角形ABC中,点O是AC的一个动点，（O点与A,C不重合），过点O作直线MN平行BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
（1）证OE=OF
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由。

Answer 1

（1）∵EF//BC，∴∠OEC=∠ECB,
且CE为∠ACB平分线，∠ECB=∠OCE
∴∠OCE=∠OEC
推出OE=OC
同理可得OC=OF（到这还有一种方法证明：内外角和是180°，平分后和是90°∴∠ECF是直角，且OE=OC，定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半，用它的逆定理可得OC是中线）
∴OE=OF
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。
分析过程：∵∠ECF=90°，∴只要证明四边形AECF是平行四边形就可以得出它是矩形的结论（定理：一个角是直角的平行四边形是矩形。）
证明过程：∵O是EF中点（上问已证），O是AC中点，∴四边形AECF是平行四边形（定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又∵∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形。

Answer 2

证明：
1、
∵EF∥BC
∴∠E=∠BCE
∠F=∠FCK （K为BC延长线上一点，用来确定这个角）
又CE平分∠ACB CF平分∠ACK
∴∠BCE=∠ACE
∠ACF=∠FCK
∴∠E=∠ACE
∠F=∠ACF
∴OE =OC
OC=OF
∴OE=OF

2、当O运动到AC中点时，AECF为矩形
证明：
∵ OE=OF OA=OC EF AC为AECF的对角线
∴ACEF是平行四边形
∵EC和CF是∠ACB和∠ACK的平分线
∴EC⊥CF
那么一个平行四边形的一个内角为90°
那么这个四边形是矩形

Answer 3

因为EF//BC，则角OEC=角ECB,
CE为角ACB平分线，则角ECB=角OCE
所以角OCE=角OEC,则OE=OC,
同理可得OC=OF
即OE=OF

Answer 4

第三题呢？