Question

已知抛物线y^2=4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)，

设A、B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M。求证：线段AB中点的横坐标为定值

Answer 1

设抛物线y^2=4x的两点A(x1 ,y1) B(x2,y2)
线段AB的垂直平分线恰过点M
再根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得
(4-x1)^2 +(y1)^2 =(4-x2)^2 +(y2)^2 (他们距离的平方是相等的,这里用点到点的距离的公式) 由题知(y1)^2 =4x1 (y2)^2=4x2
代入并展开得
16+(x1)^2 -8x1 +4x1=(x2)^2 -8x2 +16 +4x2
即(x1)^2 -(x2)^2 =4x1-4x2
即(x1-x2)(x1+x2)=4(x1-x2)
即x1+x2=4
线段AB中点的横坐标为(x1+x2)/2=2
所以是定值