Question

在△ABC中，角C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线△ABC的直角边相交于点F

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在△ABC中，角C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y.（1）求线段AD的长（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x 取何值时，y有最大值？并求出气最大值。（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值，若不存在直线EF，请说明理由。

Answer 1

（3）如图：做FH⊥AB
易证：∴Rt△AFH∽Rt△ACB
∴FH/BC=AF/AB
FH=4/5AF（1）
若周长被平分，则：AF+AE=1/2（3+4+5）=6
设AE=X
则：AF=6-X 代入（1）式
得:FH=4/5AF=4/5（6-X）
则S△AEF=1/2*FH*AE=1/2*4/5（6-X）
=- 2/5x^2+ 12/5x （0＜x＜5）
若面积平分:则S△AEF=1/2S△ABC=1/2*3*4=3
即:- 2/5x^2+ 12/5x =3
解方程:x1= 3-√6/2，x2= 3+√6/2
讨论:当x1=3-√6/2
AF=6-X1=6-(3-√6/2)=3+√6/2 >3 (因0<AF<3,所以不合题意舍去)
∴x2= 3+√6/2 满足0<AF<3 且0<AE<5
∴这样的EF存在,X= 3+√6/2.

前两问相信您已经解出来了吧

追问

sorry。就是要前两问

追答

1）
1/2(BC*AC)=1/2(CD*AB)
AD=2.4

2）
①因为AE在AB上移动，AE=x，EF⊥AB，所以这个面积必定是个分段的，先利用相似三角形求出AD的长度：AD=1.8。
这样当0<x<1.8时，三角形AEF相似于三角形ADC，所以三角形AEF三边的比也为3:4:5，也就是AE:EF=3:4，这样可以得到面积：y=(1/2)*(x)*(4x/3)，化简即可
当1.8≤x<5时，关键是求EF长度，利用三角形BEF来求。BE=5-x，EF:BE=3:4，所以可以求出EF=3(5-x)/4，这样三角形AEF面积为：y=(1/2)*(x)*3(5-x)/4，化简即可
最后以分段函数形式写出y的表达式。
②上边两个分段函数都是二次函数，在每个段里求最大值，然后比较就可以了。二次函数最大值应该很简单的。

追问

3q

Answer 2

AD不等于2.4

Answer 3

题目不全

追问

已经补充了

Answer 4

问题不全

追问

已经补充了